IT - Matematička analiza 1

REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJEBLE:
GRANIČNA VRIJEDNOST FUNKCIJE. Definicija limesa i svojstva. Tablični limes i računanje limesa funkcija. Jednostrani limesi. Neprekidnost funkcije u točki.
DERIVACIJA. Definicija. Primjeri određivanja derivacije funkcije iz definicije. Svojstva derivacija – pravila deriviranja. Derivabilnost ReLU funkcije. Derivacija kompozicije funkcija s primjenom na "backpropagation" u neuronskim mrežama. Geometrijsko (jednadžba tangente i normale na graf funkcije) i fizikalno (računanje funkcije brzine i akceleracije) značenje derivacije. Derivacije višeg reda. Linearna aproksimacija funkcije i diferencijal. L'Hospitalovo pravilo. Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije (monotonost i ekstremi, zakrivljenost i točke pregiba, asimptote).
INTEGRAL. Definicija neodređenog integrala i osnovne metode integriranje (direktna, supstitucija, parcijalna). Pojam i svojstva određenog integrala. Newton-Leibnitzova formula. Primjene određenog integrala. Nepravi integral.
NIZOVI I REDOVI. Niz realnih brojeva. Limes niza. Aritmetički i geometrijski niz. Red realnih brojeva. Parcijalne sume i limes reda realnih brojeva i svojstva. Geometrijski red. Kriteriji konvergencije redova: kriterij uspoređivanja, d'Alambertov, Cauchyjev i Leibnitzov kriterij. Redovi potencija: Taylorov i Maclaurinov red. Radijus konvergencije reda potencija.
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE. Pojam i vrste. Opće i partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe. Rješavanje elementarnih diferencijalnih jednadžbi prvog i drugog reda. Metoda separacije varijabli. Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda. Homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima.
REALNE FUNKCIJE DVIJE REALNE VARIJEBLE:
TEMELJNI POJMOVI. Definicija realne funkcije dvije realne varijable. Prirodno područje definicije. Crtanje grafa.
DERIVACIJA. Parcijalne derivacije. Nužni uvjet za ekstrem – stacionarne točke. Totalni diferencijal i linearna aproksimacija funkcije. Pojam gradijenta i metoda gradijentnog spusta.
INTEGRAL. Definicija, svojstva i geometrijsko značenje dvostrukog integrala. Određivanje granica u dvostrukom integralu. Neke primjene dvostrukog integrala.

Ciljevi predmeta su:
- da student operativno ovlada nekim temeljnim znanjima u području diferencijalnog i integralnog računa, redova potencija, diferencijalnih jednadžbi i funkcija više varijabli s naglaskom na primjene,
- matematička znanja staviti u znanstveno-tehnološki kontekst,
- razvijati kod studenta sposobnost matematičkog razmišljanja i logičkog zaključivanja.

1. Definirati pojmove granične vrijednosti funkcije, neprekidnosti, derivacije, neodređenog, određenog i nepravog integrala i navesti osnovna svojstva i pravila diferencijalnog i integralnog računa.
2. Izračunati graničnu vrijednost funkcije, odrediti derivaciju zbroja, umnoška, kvocijenta i kompozicije funkcija.
3. Objasniti geometrijsko i fizikalno značenje derivacije, primijeniti derivaciju kako bi odredio brzinu promjene neke veličine, naći jednadžbu tangente i normale na graf funkcije i linearnu aproksimaciju funkcije.
4. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije, intervale zakretanja grafa funkcije i točke pregiba i skicirati graf funkcije.
5. Izračunati neodređeni, određeni i nepravi integral.
6. Primijeniti integralni račun na računanje ukupne promjene položaja, prijeđenog puta, rada sile, srednju vrijednost funkcije, površine i obujma.
7. Definirati niz, red i njihovu konvergenciju, navesti neke kriterije konvergencije reda i ispitati konvergenciju numeričkog reda.
8. Razviti funkciju u red potencija i odrediti radijus konvergencije i aproksimirati funkciju Taylorovim i Maclaurinovim polinomom.
9. Definirati običnu diferencijalnu jednadžbu, red, opće i partikularno rješenje i riješiti metodom separacije varijabli i metodom varijacije konstante i Eulerovom metodom.
10. Definirati funkciju dvije varijable, odrediti i skicirati domenu, naći parcijalne derivacije, stacionarne točke i totalni diferencijal.
11. Rješavati i analizirati matematičke probleme korištenjem programskih alata.

Studenti stiču osnovna znanja iz matematičke analize funkcija, diferencijalnog i integralnog računa, te nizova i redova brojeva i funkcija. Usvajanje pojmova i savladavanje vještina, u rješavanju problema iz navedenih područja, omogućava im uspješno praćenje stručnih predmeta.

- M. Čančarević, V. Krstić: MATEMATIKA 2, VSITE, Zagreb, 2017. (elektroničko izdanje)
- M. Čančarević, V. Krstić: Laboratorijske vježbe iz MATEMATIKE 2, VSITE, Zagreb, 2015. (elektroničko izdanje)

1. 1.1. Granična vrijednost funkcije 1.2. Neprekidnost funkcije 1.3. Derivacija
2. 2.1. Račun derivacije 2.2. Derivacija je brzina promjene 2.3. Derivacija je nagib tangente 2.4. Derivacija kompozicije funkcija s primjenom na "backpropagation" u neuronskim mrežama.
3. 3.1. Derivacija je najbolja linearna aproksimacija 3.2. Diferencijal 3.3. Neodređeni integral 3.4. Osnovna svojstva neodređenog integrala
4. 4.1. Neposredna integracija 4.2. Primjene neodređenog integrala 4.3. Određeni integral 4.4.Svojstva određenog integrala
5. 5.1. Račun određenog integrala 5.2. Primjene određenog integrala
6. 6.1. L´Hospitalovo pravilo 6.2. Monotonost i ekstremi funkcije 6.3. Konveksnost, konkavnost i točke pregiba
7. 7.1 Asimptote 7.2. Skiciranje grafa funkcije
8. 8.1. Niz 8.2. Granična vrijednost niza 8.3. Svojstva konvergentnih nizova 8.4. Numerički red 8.5. Konvergencija reda 8.5.Neki kriteriji konvergencije reda
9. 9.1. Redovi potencija 9.2. Taylorov i Maclaurinov red 9.3.Taylorova i Maclaurinova formula
10. 10.1. Metoda supstitucije10.2. Metoda parcijalne integracije 10.3. Nepravi integral
11. 11.1.Diferencijalne jednadžbe 11.2. Diferencijalne jednadžbe y'=f(x), y''=f(x) 11.3. Metoda separacija varijabli
12. 12.1. Linearna diferencijalna jednadžba 1. reda 12.2. Homogena diferencijalna jednadžba 2. reda s konstantnim koeficijentima
13. 13.1. Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi-Eulerova metoda 13.2. Funkcije više varijabli 13.3. Domena funkcije dvije varijable i njen grafički prikaz
14. 14.1.Parcijalne derivacije 14.2. Stacionarne točke 14.3. Totalni diferencijal 14.4. Pojam gradijenta i metoda gradijentnog spusta.
15. 15.1. Dvostruki integral i svojstva 15.2. Primjene dvostrukog integrala

1. 1.1. Granična vrijednost funkcije 1.2. Neprekidnost funkcije
2. 2.1. Račun derivacije 2.2. Primjene derivacije: "backpropagation" u neuronskim mrežama.
3. 3.1. Derivacije višeg reda 3.2. Diferencijal 3.3. Primjene diferencijala
4. 4.1.Neodređeni integral-neposredna integracija 4.2. Primjene neodređenog integrala
5. 5.1. Elementarni račun određenog integrala 5.2. Neke primjene određenog integrala
6. 6.1. L'Hospitalovo pravilo 6.2. Monotonost i ekstremi funkcije 6.3. Konveksnost, konkavnost i točke pregiba
7. 7.1. Asimptote 7.2. Skiciranje grafa funkcije
8. 8.1. Granična vrijednost niza 8.2. Konvergencija numeričkog reda
9. 9.1. Razvoj funkcije u Taylorov i Maclaurinov red 9.2. Aproksimacija funkcije Taylorovim i Maclaurinovim polinomom
10. 10.1.Metoda supstitucije 10.2. Metoda parcijalne integracije 10.3. Nepravi integral
11. 11.1. Diferencijalne jednadžbe y=f'(x), y=f''(x) 11.2. Metoda separacija varijabli
12. 12.1. Linearna diferencijalna jednadžba 1. reda 12.2. Homogena diferencijalna jednadžba 2. reda s konstantnim koeficijentima
13. 13.1. Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi-Eulerova metoda 13.2. Određivanje i skiciranje domene funkcije dvije varijable
14. 14.1. Parcijalne derivacije 14.2. Stacionarne točke 14.3. Totalni diferencijal 14.4. Gradijentna metoda.
15. 15.1. Račun dvostrukog integrala 15.2.Srednja vrijednost funkcije dvije varijable 15.3. Neke primjene dvostrukog integrala

1. 1.1. Granična vrijednost funkcije 1.2.Neprekidnost funkcije 1. 3. Račun derivacije 1.4. Diferencijal 1.5.Neke primjene derivacije
2. 2.1. Neodređeni integral 2.2. Primjene neodređenog integrala 2.3. Određeni integral. 2.4. Primjene određenog integrala
3. 3.1. Domena, nultočke, intervali monotonosti, ekstremi funkcije, intervali zakretanja i asimptote grafa funkcije 3.2. Skiciranje grafa funkcije
4. 4.1. Granična vrijednost niza 4.2. Konvergencija reda 4.3. Aproksimacija funkcije Taylorovim i Maclaurinovim polinomom 4.4. Nepravi integral
5. 5.1.Rješavanje diferencijalnih jednadžbi 5.2 . Skiciranje integralnih krivulja 5.3. Eulerova metoda -numerički i grafički
6. 6.1. Skiciranje domene funkcije dvije varijable 6.2. Parcijalne derivacije 6.3. Totalni diferncijal 6.4. Dvostruki integral 6.5.Primjene dvostrukog integrala

1. Jedinice predavanja 1-7, jedinice auditornih vježbi 1-7, jedinice laboratorijskih vježbi 1-3. Na kolokviju studenti moraju postići 50% svih bodova, s time da za svaki od tri dijela moraju imati minimalno riješeno 40 %.
2. Jedinice predavanja 8-15, jedinice auditornih vježbi 8-15, jedinice laboratorijskih vježbi 4-6. Na kolokviju studenti moraju postići 50% svih bodova, s time da za svaki od tri dijela moraju imati minimalno riješeno 40 %. Tijekom semestra pišu se testovi na kraju svakog termina predavanja. Tijekom semestra pišu se testovi na početku svakog termina laboratorijskih vježbi. Tijekom semestra pišu se dva međuispita (kolokvija) zadataka iz teorije u 8. i 15. tjednu nastave. Na međuispitima studenti moraju postići 50% svih bodova, s time da za svaki od navedenih dijelova moraju imati minimalno riješeno 40 %. Uvjet za konačnu pozitivnu ocjenu je pozitivna ocjena iz testova predavanja, pozitivna ocjena laboratorijskih vježbi, pozitivna ocjena međuispita zadataka i teorije. Ocjena(%)=0,10P +0,10L + 0,80(K1+K2)/2 P - ocjena iz testa predavanja izražena u postocima L - ocjena iz laboratorijskih vježbi izražena u postocima, K1, K2 - bodovi na međuispitima zadataka i teorije izraženi u postocima

1. Jedinice predavanja 1-15, jedinice auditornih vježbi 1-15, jedinice laboratorijskih vježbi 1-6. Studenti koji ne polože ispit preko kolokvija polažu pismeni ispit zadataka i teorije, koji sadrži 8 zadatka i 10 pitanja iz teorije. Uvjet za polaganje ispita je 50% bodova od ukupnog broja pismenog ispita zadataka i teorije, pri čemu svaki dio mora biti zastupljen s minimalno 40% točnih odgovora. Konačna se ocjena utvrđuje na sljedeći način: Ocjena (postotak): 50% do 62% dovoljan (2), 62.5% do 74.5% dobar (3), 75% do 87% vrlo dobar (4), 87.5% do 100% izvrstan (5). Ispitni rokovi: prema kalendaru nastave

1. kolokviji, konzultacije, samostalno učenje, samostalno rješavanje numeričkih zadataka