IT - Primijenjena i numerička matematika

LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA I PRIMJENE. Laplaceova transformacija i inverzna Laplaceova transformacija: definicije, svojstva i njihova primjene za rješavanje nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima. Picardova metoda – metoda naizmjeničnih aproksimacija.
NUMERIČKA MATEMATIKA. Približne vrijednosti i greške – osnovni pojmovi i svojstva. Približno rješavanje nelinearnih jednadžbi i sustava: metode bisekcije, tangente i sekante. Newtonova metoda za nelinearne sustave. Aproksimacija funkcija – Lagrangeov interpolacijski polinom i metoda najmanjih kvadrata - pseudoinverz. Određivanje minimuma funkcije više varijabli gradijentnom metodom. Numerička integracija – formule pravokutnika, trapezna i Simpsonova formula.
OSNOVE STATISTIKE I VJEROJATNOSTI. Deskriptivna statistika. Osnove kombinatorike, pojam vjerojatnosti i osnovna svojstva. Diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Binomna, Poissonova, uniformna, normalna i eksponencijalna razdioba. Prilagođavanje teorijskih razdiobi empirijskim podacima.

Ciljevi predmeta su:
- razumijevanje zakona, procesa i pojava u fizici, biologiji i kemiji opisanih diferencijalnim jednadžbama,
- matematički modelirati probleme i riješiti ih metodama numeričke matematike,
- vrednovati relevantnost podataka iz svakodnevnog života korištenjem osnova deskriptivne i inferencijalne statistike.

1. Primijeniti Laplaceovu transformaciju i inverznu Laplaceovu transformaciju za rješavanje nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima uz korištenje tablice Laplaceovih transformacija.
2. Riješiti nelinearne jednadžbe metodom bisekcije i/ili tangente i nelinearni sustav Newtonovom metodom.
3. Funkciju zadanu tablično aproksimirati pomoću Lagrangeovog interpolacijskog polinoma ili metodom najmanjih kvadrata na odabranu teorijsku funkciju.
4. Izračunati određeni integral pomoću lijeve i desne formule pravokutnika, trapezne i Simpsonove formule uz usporedbu metoda.
5. Interpretirati aritmetičku sredinu, varijancu i standardnu devijaciju za grupirane i negrupirane podatke.
6. Izračunati vjerojatnost jednostavnih događaja.
7. Razlikovati diskretnu i kontinuiranu slučajnu varijablu, funkciju gustoće vjerojatnosti i funkciju razdiobe.
8. Interpretirati rezultate dobivene primjenom binomne, Poissonove, uniformne, normalne i eksponencijalne razdiobe.
9. Izraditi jednostavnije programe u raspoloživom softwareu iz područja numeričke matematike, statistike i vjerojatnosti.

Student je osposobljen za modeliranje jednostavnijih problema iz stručne prakse. Usvaja potrebna znanja iz diferencijalnih jednadžbi, numeričke matematike i statistike. Upoznaje se s programskim paketom MATLAB.

1. Čulina, Rivier, Čančarević: Primijenjena i numerička matematika 1, Udžbenik Vsite, Zagreb 2008.

1. Bogdanić, N.: Primijenjena matematika, Sveučilište u Splitu, Split 1980 1. Baras I.: Laboratorijske vježbe iz Primijenjene i numeričke matematike (interni materijali) , Odjel za stručne studije , Sveučilište u Splitu 2004. 1. Strunje M, Bradić T, Polić R, Pečarić J: Matematika za tehnološke fakultete, Element, Zagreb (1998) 2. Pauše, Ž.: Uvod u matematičku statistiku, Školska knjiga, Zagreb (1993) 3. Getting started with MATLAB, The Math Works (2004)

1. 1.1. Definicija Laplaceove transformacije i svojstva 1.2 Inverzna Laplaceova transformacija i svojstva
2. 2.1. Primjene Laplaceove transformacije 2.2. Rješavanje diferencijalne jednadžbe ay''+by'+cy=f(t), y(0)=A, y(0)=B 2.3 Picardova metoda
3. 3.1. Greške 3.2 Približno rješavanje jednadžbi 3.3 Metoda polovljenja (bisekcije)
4. 4.1. Metoda tangente 4.2. Metoda sekante 4.3. Približno rješavanje nelinearnih sustava (Newtonova metoda)
5. 5.1.Aproksimacija funkcija 5.2 Lagrangeov interpolacijski polinom 5.3.Metoda najmanjih kvadrata 5.4. Aproksimacija polinomom 1. stupnja
6. 6.1. Aproksimacija polinomom 2. stupnja 6.2. Metoda najmanjih kvadrata u matričnom obliku - pseudoinverz 6.3. Određivanje minimuma funkcije više varijabli gradijentnom metodom
7. 7.1.Numerička integracija 7.2. Pravilo pravokutnika 7.3. Trapezno pravilo
8. 8.1. Simpsonova formula 8.2. Usporedba metoda integracije
9. 9.1. Statističko obilježje i statistički podaci 9.2.Prikazivanje statističkih podataka 9.3. Parametri statističkih podataka
10. 10.1. Kombinatorika 10.2. Elementarna teorija vjerojatnosti
11. 11.1.Slučajna varijabla 11.2. Diskretna slučajna varijabla 11.3. Binomna razdioba
12. 12.1. Poissonova razdioba 12.2. Kontinuirana slučajna varijabla
13. 13.1.Uniformna razdioba 13.2. Normalna razdioba
14. 14.1.Eksponencijalna razdioba 14.2. Prilagodba teorijske razdiobe empirijskim podacima
15. 15.1.Prilagodba binomne i Poissonove razdiobe empirijskim podacima 15.2.Prilagodba eksponencijalne i normalne razdiobe empirijskim podacima

1. 1.1. Vektorski i matrični račun 1.2. Sustavi linearnih jednadžbi 1.3. Skiciranje grafa funkcije 1.4. Programiranje u Sage-u, 1.5. Funkcije u Sage-u
2. 2.1. Laplaceova transformacija i inverzna Laplaceova transformacija 2.2. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi ay''+by'+cy=f(x), y(0)=A, y'(0)=B 2.3. Konvolucija 2.4. Picardova metoda
3. 3.1 Greške 3.2. Grafičko rješavanje jednadžbi 3.3. Lociranje nultočki funkcije 3.4. Metoda bisekcije, tangente i sekante.
4. 4.1. Newtonova metoda za nelinearne sustave 4.2. Lagrangeov interpolacijski polinom
5. 5.1.Metoda najmanjih kvadrata-aproksimacija funkcije polinomom 1. i 2. stupnja 5.2. Metoda najmanjih kvadrata u matričnom obliku-pseudoinverz 5.3. Gradijentna metoda
6. 6.1. Numerička integracija 6.2. Programi i funkcije za nalaženje određenog integrala 6.3. Pravilo (formula) pravokutnika 6.4. Trapezno pravilo 6.5 Simpsonovo pravilo
7. 7.1. Tablični prikaz statističkih podataka 7.2. Grafički prikaz statističkih podataka 7.3. Numerički parametri statističkih podataka 7.4. Program za računanje binomnih koeficijenata
8. 8.1. Vjerojatnost- primjeri 8.2. Diskretna slučajna varijabla 8.3. Matematičko očekivanje, varijanca i standardna devijacija diskretne slučajne varijable 8.4. Binomna razdioba
9. 9.1.Poissonova razdioba 9.2. Kontinuirana slučajna varijabla 9.3. Uniformna razdioba
10. 10.1. Normalna razdioba 10.2. Eksponencijalna razdioba 10.3. Prilagodba binomne razdiobe empirijskim podacima
11. 11.1.Prilagodba Poissonove razdiobe empirijskim podacima 11.2.Prilagodba eksponencijalne razdiobe empirijskim podacima 11.3.Prilagodba normalne razdiobe empirijskim podacima

1. Jedinice predavanja 1-8, jedinice laboratorijskih vježbi 1-6. Na kolokviju studenti moraju postići 50% svih bodova, s time da za svaki od dva dijela moraju imati minimalno riješeno 40 %.
2. Jedinice predavanja 9-15, jedinice laboratorijskih vježbi 7-11. Na kolokviju studenti moraju postići 50% svih bodova, s time da za svaki od dva dijela moraju imati minimalno riješeno 40 %. Tijekom semestra pišu se testovi na kraju svakog termina predavanja. Tijekom semestra pišu se testovi na početku svakog termina laboratorijskih vježbi. Tijekom semestra pišu se dva međuispita (kolokvija) zadataka iz teorije u 8. i 15. tjednu nastave. Na međuispitima studenti moraju postići 50% svih bodova, s time da za svaki od navedenih dijelova moraju imati minimalno riješeno 40 %. Uvjet za konačnu pozitivnu ocjenu je pozitivna ocjena iz testova predavanja, pozitivna ocjena laboratorijskih vježbi, pozitivna ocjena međuispita zadataka i teorije. Ocjena(%)=0,10P +0,10L + 0,80(K1+K2)/2 P - ocjena iz testa predavanja izražena u postocima, L - ocjena iz laboratorijskih vježbi izražena u postocima, K1, K2 - bodovi na međuispitima zadataka i teorije izraženi u postocima

1. Jedinice predavanja 1-15, jedinice laboratorijskih vježbi 1-11. Studenti koji ne polože ispit preko kolokvija polažu pismeni ispit zadataka i teorije, koji sadrži 6 zadatka i 10 pitanja iz teorije. Uvjet za polaganje ispita je 50% bodova od ukupnog broja pismenog ispita zadataka i teorije, pri čemu svaki dio mora biti zastupljen s minimalno 40% točnih odgovora. Konačna se ocjena utvrđuje na sljedeći način: Ocjena (postotak): 50% do 62% dovoljan (2), 62.5% do 74.5% dobar (3), 75% do 87% vrlo dobar (4), 87.5% do 100% izvrstan (5). Ispitni rokovi: prema kalendaru nastave.

1. kolokviji, konzultacije, samostalni rad u laboratoriju i samostalno učenje